如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连结AE，作BF-优题课

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 $3$ 份“堂食”小面和 $2$ 份“生食”小面的总售价为 $31$ 元， $4$ 份“堂食”小面和 $1$ 份“生食”小面的总售价为 $33$ 元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面 $4500$ 份，“生食”小面 $2500$ 份.为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ .统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 $\frac{5}{11} a %$ .求 $a$ 的值.

在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AB, CD$ 交于点 $O, S_{AOB} = 4, S_{COD} = 9$ ，求四边形 $ABCD$ 面积的最小值.

已知 $a, b, c$ 三数满足方程组 $\{\begin{matrix} a + b = 8, \\ ab - c^{2} + 8 \sqrt{2} c = 48, \end{matrix}$ 试求方程 $b x^{2} + cx - a = 0$ 的根.

已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2} - 1) x^{2} - 3 (3 m - 1) x + 18 = 0$ 有两个正整数根（ $m$ 是整数）. $Δ A B C$ 的三边 $a, b$ 、 $c$ 满足 $c = 2 \sqrt{3}, m^{2} + a^{2} m - 8 a = 0, m^{2} + b^{2} m - 8 b = 0$ .

求:（1） $m$ 的值；

（2） $Δ A B C$ 的面积.

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + cx + a = 0$ 的两个整数根恰好比方程 $x^{2} + ax + b = 0$ 的两个根都大 $1$ ，求 $a + b + c$ 的值.