演讲答辩环节，每位选手都从两个分别标有A、B内容的签中，随机-优题课

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AE$ 的位置，使得 $∠ DAE + ∠ BAC = 180 °$ ．

（1）如图1，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，连接 $BE$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．若 $BE$ 平分 $∠ ABC$ ， $BD = 2$ ，求 $AF$ 的长；

（2）如图2，连接 $BE$ ，取 $BE$ 的中点 $G$ ，连接 $AG$ ．猜想 $AG$ 与 $CD$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $DG$ ， $CE$ ．若 $∠ BAC = 120 °$ ，当 $BD > CD$ ， $∠ AEC = 150 °$ 时，请直接写出 $\frac{BD - DG}{CE}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 经过 $A (0, - 1)$ ， $B (4, 1)$ ．直线 $AB$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ， $P$ 是直线 $AB$ 下方抛物线上的一个动点．过点 $P$ 作 $PD ⊥ AB$ ，垂足为 $D$ ， $PE / / x$ 轴，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $ΔPDE$ 的周长取得最大值时，求点 $P$ 的坐标和 $ΔPDE$ 周长的最大值；

（3）把抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 $P$ ． $M$ 是新抛物线上一点， $N$ 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形的点 $M$ 的坐标，并把求其中一个点 $M$ 的坐标的过程写出来．

如果一个自然数 $M$ 的个位数字不为0，且能分解成 $A \times B$ ，其中 $A$ 与 $B$ 都是两位数， $A$ 与 $B$ 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数 $M$ 为"合和数"，并把数 $M$ 分解成 $M = A \times B$ 的过程，称为"合分解"．

例如 $∵ 609 = 21 \times 29$ ，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

$∴ 609$ 是"合和数"．

又如 $∵ 234 = 18 \times 13$ ，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

$∴ 234$ 不是"合和数"．

（1）判断168，621是否是"合和数"？并说明理由；

（2）把一个四位"合和数" $M$ 进行"合分解"，即 $M = A \times B$ ． $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的和记为 $P (M)$ ； $A$ 的各个数位数字之和与 $B$ 的各个数位数字之和的差的绝对值记为 $Q (M)$ ．令 $G (M) = \frac{P (M)}{Q (M)}$ ，当 $G (M)$ 能被4整除时，求出所有满足条件的 $M$ ．

某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 $A$ 产品，乙车间生产 $B$ 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知 $A$ 产品的销售单价比 $B$ 产品的销售单价高100元，1件 $A$ 产品与1件 $B$ 产品售价和为500元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着 $5 G$ 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制 $B$ 产品的生产车间．预计 $A$ 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加 $a %$ ； $B$ 产品产量将在去年的基础上减少 $a %$ ，但 $B$ 产品的销售单价将提高 $3 a %$ ．则今年 $A$ 、 $B$ 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 $\frac{29}{25} a %$ ．求 $a$ 的值．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 $y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

$x$	$\dots$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y = \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$	$\dots$	$- \frac{21}{26}$	$- \frac{12}{17}$	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{3}{2}$	4	$\frac{3}{2}$	0				$\dots$

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的 $" D$ 条性质；

（3）已知函数 $y = - \frac{3}{2} x + 3$ 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式 $- \frac{3}{2} x + 3 > \frac{4 - x^{2}}{x^{2} + 1}$ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 $0.2)$