已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线-优题课

已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．
（1）求曲线的方程；
（2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
（3）记的面积为，求的最大值．

科目数学题型解答题难度较难

设定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_{1} < x_{2}$}时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ．

（1）若 $f (x) = a x^{3} + 1$ ，求a的取值范围；

（2）若 $f (x)$ 是周期函数，证明： $f (x)$ 是常值函数；

（3）设 $f (x)$ 恒大于零， $g (x)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g (x)$ 的最大值．函数 $h (x) = f (x) g (x)$ ．证明：" $h (x)$ 是周期函数"的充要条件是" $f (x)$ 是常值函数"．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $(\frac{8}{5} ， \frac{3}{5})$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $|M A| = |M P|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\overset{⇀}{A Q} = 2 \vec{A C}$ ， $\vec{P Q} = 4 \vec{P M}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_{n}$ 和 _{$b_{n}$}（单位：辆），其中 $a_{n} = {\begin{matrix} 5 n^{4} + 15 ，_{} 1 \leq n \leq 3 \\ - 10 n + 470 ，_{} n \geq 4 \end{matrix}$ ， $b_{n} = n + 5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_{n} = - 4 {(n - 46)}^{2} + 8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + \frac{1}{2}, x \in (0, π)$ ．

（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a = \sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f (A) = 0$ ，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A A_{1}$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．

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