已知阶矩阵
，向量
。
（1）求阶矩阵
的特征值和特征向量；
（2）计算
.
（本小题满分12分）
某学校举办消防知识竞赛，总共 7 个题中，分值为 10 分的有
共4 个，分值为 20 分的有
共3个，每位选手都要分别从 4 个 10 分题和 3 个 20 分题中各随机抽取 1 题参赛．已知甲选手 4 个 10 分题中只有
不会，3个 20分题中只会
．
（Ⅰ）求甲选手恰好得30分的概率；
（Ⅱ）求甲选手得分超过10分的概率．
（本小题满分12分）
某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下表所示：
零件的个数 （个） |
2 |
3 |
4 |
5 |
加工的时间 （小时） |
2.5 |
3 |
4 |
4.5 |
（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）求出关于的线性回归方程
，
并在坐标系中画出回归直线；
（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？
（本小题满分12分）
已知 
,
,
为坐标平面上的三个点，
为坐标原点，点
为 
所在直线上一个动点．
（Ⅰ）若 
与 
垂直，求 
的值；
（Ⅱ）若向量 
在向量 
方向上的射影的数量为 
，求 点的坐标.
（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（Ⅰ）求
的最大值，并求出当取得最大值时
的取值；
（Ⅱ）求 的单调递增区间．
（本小题满分12分）
（Ⅰ）求 
的值；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值．