如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，P-优题课

题文

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = C D = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{3}$ ．
（1）求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）若侧棱 $P C$ 上的点 $F$ 满足 $P F = 7 F C$ ，求三棱锥 $P - B D F$ 的体积．

科目数学题型解答题难度容易

知识点：空间向量的应用表面展开图

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选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中,曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数,且 $t \neq 0$ ）,其中 $0 \leq α < π$ ,在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 $C_{2} : ρ = 2 \sin θ, C_{3} : 2 \sqrt{3} \cos θ$

（Ⅰ）求 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A$ , $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$ ,求 $|A B|$ 最大值.

如图 $O$ 是等腰三角形 $A B C$ 内一点,圆 $O$ 与 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 交于 $M, N$ 两点,与底边上的高交于点 $G$ ,且与 $A B, A C$ 分别相切于 $E, F$ 两点.

（Ⅰ）证明 $E F / / B C$

（Ⅱ）若 $A G$ 等于圆 $O$ 半径,且 $A E = M N = 2 \sqrt{3}$ ,求四边形 $E B C F$ 的面积.

已知 $f (x) = \ln x + a (1 - x)$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $f (x)$ 有最大值,且最大值大于 $2 a - 2$ 时,求 $a$ 的取值范围.

已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $(2, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）直线 $l$ 不经过原点 $O$ ,且不平行于坐标轴, $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ,线段 $A B$ 中点为 $M$ ,证明：直线 $O M$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值.

如图,长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 16$ , $B C = 10$ , $A A_{1} = 8$ ,点 $E$ , $F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上, $A_{1} E = D_{1} F = 4$ 过点 $E$ , $F$ 的平面 $α$ 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（Ⅱ）求平面 $α$ 把该长方体分成的两部分体积的比值.

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