已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点
的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值.
（本小题满分12分）
已知函数
，且不等式
的解集为
；
（1）求函数
的解析式；
（2）c为何值时，关于
的不等式
无解．
（本小题满分10分）
在△ABC中， 
是方程
的一个根，
（1）求
；
（2）当
时，求△ABC周长的最小值．
（本小题满分14分）
已知
是椭圆
的左右焦点，椭圆
的离心率
，
是上异于左右顶点的任意一点，且
的面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线
是椭圆在点P处的切线，过
作
的垂线，交直线相交于Q，求证：点Q落在一条定直线
上，并求直线的方程．
（本小题满分14分）
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．
（本小题满分12分）
已知
，设不等式组
所表示的平面区域为
,记内整点的个数为
（横、纵坐标均为整数的点称为整点）．
（Ⅰ）通过研究
的值的规律，求的通项公式；
（Ⅱ）求证：
．