计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电量最多可运行台数 |
1 |
2 |
3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
(本小题满分14分)已知函数(
).
(1)讨论的单调性;
(2)若对任意
恒成立,求实数
的取值范围(
为自然常数);
(3)求证(
,
).
(本小题满分14分)已知椭圆过点
,且长轴长等于4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是椭圆C的两个焦点,圆O是以
为直径的圆,直线
与圆O相切,并与椭圆C交于不同的两点A,B,若
,求
的值.
(本小题满分14分)如图,在七面体ABCDMN中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD,
平面ABCD,且
(1)在棱AB上找一点Q,使QP//平面AMD,并给出证明;
(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.
(本小题满分14分)设为数列
的前
项和,对任意的
,都有
为常数,且
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的公比
,数列
满足
,求数列
的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求数列的前
项和
.
(本小题满分12分)根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》:每位驾驶证申领者必须通过《科目一》(理论科目)、《综合科》(驾驶技能加科目一的部分理论)的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试,且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响,《综合科》三年内有5次预约考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾驶证,不再参加以后的考试,否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9.
(1)求在三年内李先生参加驾驶证考试次数的分布列和数学期望;
(2)求李先生在三年内领到驾驶证的概率.