已知数列$\left\{a_n\right\}$和$\left\{b_n\right\}$满足$a_1{a}_2\dots a_n={\left(\sqrt{2}\right)}^{b_n}\left(n\in N^{+}\right)$.若$\left\{a_n\right\}$为等比数列，且$a_1=2,b_3=6+b_2$

（1）求$a_n$与$b_n$；
（2）设$c_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{b_n}\left(n\in N^{+}\right)$。记数列$\left\{c_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$.
（i）求$S_n$；
（ii）求正整数$k$，使得对任意$n\in N^{+}$，均有$S_K\ge S_n$．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难

知识点： 等比数列 数列综合