已知双曲线E:x2a2y2b21(a<0,b<0)的两条渐近-优题课

题文

已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} : y = 2 x, l_{2} : y = - 2 x$ .

（1）求双曲线 $E$ 的离心率；
（2）如图， $O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_{1}, l_{2}$ 于 $A, B$ 两点（ $A, B$ 分别在第一，四象限），且 $△ O A B$ 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$ ？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：参数方程

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（本小题满分12分）
小明参加一次比赛，比赛共设三关。第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关。第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励。小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为、、，且每个问题回答正确与否相互独立。
（1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
（2）用表示小明所获得奖品的价值，求的分布列和期望。