在平面直角坐标系 $xOy$中，对于直线 $l:ax+by+c=0$和点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$记 $\eta =(a{x}_1+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)$若 $\eta <0$，则称点 $P_1,P_2$被直线 $l$分隔.若曲线 $C$与直线 $l$没有公共点，且曲线 $C$上存在点 $P_1,P_2$被直线 $l$分隔，则称直线 $l$为曲线 $C$的一条分隔线.
(1)求证：点 $A(1,2),B(-1,0)$被直线 $x+y-1=0$分隔；

(2)若直线 $y=kx$是曲线 $x^2-4y^2=1$的分隔线，求实数 $k$的取值范围；
(3)动点 $M$到点 $Q(0,2)$的距离与到 $y$轴的距离之积为1，设点 $M$的轨迹为 $E$，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$的分割线.

科目 数学   题型 解答题   难度 较难