如图,某公司要在 $A、B$两地连线上的定点 $C$处建造广告牌 $CD$,其中 $D$为顶端, $AC$长35米, $CB$长80米,设 $A、B$在同一水平面上,从 $A$和 $B$看 $D$的仰角分别为 $\alpha$和 $\beta$.

（1）设计中 $CD$是铅垂方向,若要求 $\alpha \ge 2\beta$,问 $CD$的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
（2）施工完成后, $CD$与铅垂方向有偏差,现在实测得 $\alpha =38.{12}^{°},\beta =18.{45}^{°}$,求 $CD$的长(结果精确到0.01米)？

科目 数学   题型 解答题   难度 较难