某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天-优题课

题文

某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．
(1)求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；
(2)若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天都不通过检查的得0分，两天中只通过一天检查的得1分，两天都通过检查的得2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：随机事件随机思想的发展

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一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
（2） $X$ 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 $X$ 的分布列与数学期望.
（注：若三个数 $a, b, c$ 满足 $a \leq b \leq c$ ，则称 $b$ 为这三个数的中位数）.

已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.
（1）求 $ω$ 和 $φ$ 的值；
（2）若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{3})$ ，求 $\cos (α + \frac{3 π}{2})$ 的值.

已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 |x - a| (a \in R)$ 若 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最大值和最小值分别记为 $M (a), m (a)$ ，

(1)求 $M (a) - m (a)$ ；
(2)设 $b \in R$ 若 ${[f (x) + b]}^{2} \leq 4$ 对 $x \in [- 1, 1]$ 恒成立，求 $3 a + b$ 取值范围.

如图，设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ,动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 只有一个公共点 $P$ ，且点 $P$ 在第一象限.
（１）已知直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，用 $a, b, k$ 表示点 $P$ 的坐标；
（２）若过原点 $O$ 的直线 $l_{1}$ 与 $l$ 垂直，证明：点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $a - b$ .

如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ $平面 B C D E$ , $∠ C D E = ∠ B E D = 90 °$ , $A B = C D = 2$ , $D E = B E = 1$ . $A C = \sqrt{2}$ .

（1）证明： $D E ⊥ 平面 A C D$ ;
（2）求二面角 $B - A D - E$ 的大小

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