某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:
|
文艺节目 |
新闻节目 |
总计 |
20至40岁 |
40 |
18 |
58 |
大于40岁 |
15 |
27 |
42 |
总计 |
55 |
45 |
100 |
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.
(本小题满分12分)已知数列中,
,其前
项的和为
,且满足
.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)证明:当时,
.
(本小题满分12分)已知向量,
,设函数
.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)在中,边
分别是角
的对边,角
为锐角,若
,
,
的面积为
,求边
的长.
(本小题满分14分)设函数,其中
和
是实数,曲线
恒与
轴相切于坐标原点.
(1)求常数的值;
(2)当时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:.
(本小题满分13分)如图,椭圆的离心率为
,x轴被曲线
截得的线段长等于
的长半轴长。
(Ⅰ)求,
的方程;
(Ⅱ)设与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线
与
相交于点A,B,直线MA,MB分别与
相交与D,E.
(Ⅰ)证明:MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线
,使得
?请说明理由.
(本小题满分12分)如图,已知长方形中,
,
为
的中点.将
沿
折起,使得平面
平面
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若点是线段
上的一动点,问点E在何位置时,二面角
的余弦值为
.