如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．-优题课

（1）计算： ${(2020)}^{0} - \sqrt{4} + | - 3 |$ ；

（2）化简： $(a + 2) (a - 2) - a (a + 1)$ ．

如图，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c (c > 0)$ 的顶点为 $D$ ，与 $y$ 轴的交点为 $C$ ．过点 $C$ 的直线 $CA$ 与抛物线交于另一点 $A$ （点 $A$ 在对称轴左侧），点 $B$ 在 $AC$ 的延长线上，连结 $OA$ ， $OB$ ， $DA$ 和 $DB$ ．

（1）如图1，当 $AC / / x$ 轴时，

①已知点 $A$ 的坐标是 $(- 2, 1)$ ，求抛物线的解析式；

②若四边形 $AOBD$ 是平行四边形，求证： $b^{2} = 4 c$ ．

（2）如图2，若 $b = - 2$ ， $\frac{BC}{AC} = \frac{3}{5}$ ，是否存在这样的点 $A$ ，使四边形 $AOBD$ 是平行四边形？若存在，求出点 $A$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知在 $ΔABC$ 中， $AC = BC = m$ ， $D$ 是 $AB$ 边上的一点，将 $∠ B$ 沿着过点 $D$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在 $AC$ 边的点 $P$ 处（不与点 $A$ ， $C$ 重合），折痕交 $BC$ 边于点 $E$ ．

（1）特例感知如图1，若 $∠ C = 60 °$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点，求证： $AP = \frac{1}{2} AC$ ；

（2）变式求异如图2，若 $∠ C = 90 °$ ， $m = 6 \sqrt{2}$ ， $AD = 7$ ，过点 $D$ 作 $DH ⊥ AC$ 于点 $H$ ，求 $DH$ 和 $AP$ 的长；

（3）化归探究如图3，若 $m = 10$ ， $AB = 12$ ，且当 $AD = a$ 时，存在两次不同的折叠，使点 $B$ 落在 $AC$ 边上两个不同的位置，请直接写出 $a$ 的取值范围．

某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．

（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？

（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：

方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高 $20 %$ ，乙车间维持不变．

方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．

设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．

①求乙车间需临时招聘的工人数；

②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．

如图，已知 $ΔABC$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $AD$ 是 $⊙ O$ 的直径，连结 $BD$ ， $BC$ 平分 $∠ ABD$ ．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ ABC$ ；

（2）若 $AD = 6$ ，求 $\hat{CD}$ 的长．