计算下列各题（1）（2）（3）（4）-优题课

某挖掘机的底座高 $AB = 0.8$ 米，动臂 $BC = 1.2$ 米， $CD = 1.5$ 米， $BC$ 与 $CD$ 的固定夹角 $∠ BCD = 140 °$ ．初始位置如图1，斗杆顶点 $D$ 与铲斗顶点 $E$ 所在直线 $DE$ 垂直地面 $AM$ 于点 $E$ ，测得 $∠ CDE = 70 °$ （示意图 $2)$ ．工作时如图3，动臂 $BC$ 会绕点 $B$ 转动，当点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一直线时，斗杆顶点 $D$ 升至最高点（示意图 $4)$ ．

（1）求挖掘机在初始位置时动臂 $BC$ 与 $AB$ 的夹角 $∠ ABC$ 的度数．

（2）问斗杆顶点 $D$ 的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中 $A$ 、 $B$ 两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：

[信息一] $A$ 小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值） $:$

[信息二]上图中，从左往右第四组的成绩如下：

75	75	79	79	79	79	80	80
81	82	82	83	83	84	84	84

[信息三] $A$ 、 $B$ 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率 $(80$ 分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺） $:$

小区	平均数	中位数	众数	优秀率	方差
$A$	75.1	75	79	$40 %$	277
$B$	75.1	77	76	$45 %$	211

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求 $A$ 小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计 $A$ 小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析 $A$ ， $B$ 两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

在 $6 \times 6$ 的方格纸中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$ ，使以点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $AB$ 三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图，在直角坐标系中，已知点 $B (4, 0)$ ，等边三角形 $OAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把 $ΔOAB$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $BD$ ．请添加一个条件，使得结论“ $AE = CF$ ”成立，并加以证明．