先化简，再求值：，其中x是方程的根。-优题课

已知：如图，在正方形 ABCD中，点 E在边 CD上， $AQ ⊥ BE$ 于点 Q， $DP ⊥ AQ$ 于点 P．

（1）求证： $AP ＝ BQ$ ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ的长．

海静中学开展以"我最喜爱的职业"为主题的调查活动，围绕"在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）"的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）求在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数，并补全条形统计图；

（3）若海静中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名？

图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 AC的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）如图1，点 P在小正方形的顶点上，在图1中作出点 P关于直线 AC的对称点 Q，连接 AQ、 QC、 CP、 PA，并直接写出四边形 AQCP的周长；

（2）在图2中画出一个以线段 AC为对角线、面积为6的矩形 ABCD，且点 B和点 D均在小正方形的顶点上．

先化简，再求代数式 $(\frac{2}{a + 1} - \frac{2 a - 3}{a^{2} - 1}) \div \frac{1}{a + 1}$ 的值，其中 $a ＝ 2 \sin 60 ° + \tan 45 °$ ．

如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（ $- \sqrt{3}, 0$ ）的两条直线分别交 y轴于 B、 C两点，且 B、 C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x ²﹣2 x﹣3＝0的两个根

（1）求线段 BC的长度；

（2）试问：直线 AC与直线 AB是否垂直？请说明理由；

（3）若点 D在直线 AC上，且 DB＝ DC，求点 D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线 BD上是否存在点 P，使以 A、 B、 P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 P点的坐标；若不存在，请说明理由．