如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边△A-优题课

某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

阅读时间 $t$ （小时）	人数	占女生人数百分比
$0 ⩽ t < 0.5$	4	$20 %$
$0.5 ⩽ t < 1$	$m$	$15 %$
$1 ⩽ t < 1.5$	5	$25 %$
$1.5 ⩽ t < 2$	6	$n$
$2 ⩽ t < 2.5$	2	$10 %$

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）此次抽样调查中，共抽取了　　名学生，学生阅读时间的中位数在　　时间段；

（3）从阅读时间在 $2 ~ 2.5$ 小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？

计算： $6 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(\frac{1}{2})}^{0} + | \sqrt{3} - 2018 |$

如图1，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx$ 经过点 $A (- 4, 0)$ 、 $B (- 1, 3)$ 两点， $G$ 是其顶点，将抛物线 $C$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ ，得到新的抛物线 $C'$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的函数解析式及顶点 $G$ 的坐标；

（2）如图2，直线 $l : y = kx - \frac{12}{5}$ 经过点 $A$ ， $D$ 是抛物线 $C$ 上的一点，设 $D$ 点的横坐标为 $m (m < - 2)$ ，连接 $DO$ 并延长，交抛物线 $C'$ 于点 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $M$ ，若 $DE = 2 EM$ ，求 $m$ 的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $AG$ 、 $AB$ ，在直线 $DE$ 下方的抛物线 $C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ DEP = ∠ GAB$ ？若存在，求出点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．

（一 $)$ 猜测探究

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $M$ 是平面内任意一点，将线段 $AM$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转与 $∠ BAC$ 相等的角度，得到线段 $AN$ ，连接 $NB$ ．

（1）如图1，若 $M$ 是线段 $BC$ 上的任意一点，请直接写出 $∠ NAB$ 与 $∠ MAC$ 的数量关系是　 $∠ NAB = ∠ MAC$ 　， $NB$ 与 $MC$ 的数量关系是　　；

（2）如图2，点 $E$ 是 $AB$ 延长线上点，若 $M$ 是 $∠ CBE$ 内部射线 $BD$ 上任意一点，连接 $MC$ ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．

（二 $)$ 拓展应用

如图3，在△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 8$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 60 °$ ， $∠ B_{1} A_{1} C_{1} = 75 °$ ， $P$ 是 $B_{1} C_{1}$ 上的任意点，连接 $A_{1} P$ ，将 $A_{1} P$ 绕点 $A_{1}$ 按顺时针方向旋转 $75 °$ ，得到线段 $A_{1} Q$ ，连接 $B_{1} Q$ ．求线段 $B_{1} Q$ 长度的最小值．

如图1，点 $A (0, 8)$ 、点 $B (2, a)$ 在直线 $y = - 2 x + b$ 上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ．

（1）求 $a$ 和 $k$ 的值；

（2）将线段 $AB$ 向右平移 $m$ 个单位长度 $(m > 0)$ ，得到对应线段 $CD$ ，连接 $AC$ 、 $BD$ ．

①如图2，当 $m = 3$ 时，过 $D$ 作 $DF ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，交反比例函数图象于点 $E$ ，求 $\frac{DE}{EF}$ 的值；

②在线段 $AB$ 运动过程中，连接 $BC$ ，若 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的 $m$ 的值．