阳光中学组织学生开展社会实践活动，调查某社区居民对消防知识的-优题课

阳光中学组织学生开展社会实践活动，调查某社区居民对消防知识的了解程度（A：特别熟悉，B：有所了解，C：不知道），在该社区随机抽取了100名居民进行问卷调查，将调查结果制成如图所示的统计图，根据统计图解答下列问题：
（1）若该社区有居民900人，试估计对消防知识“特别熟悉”的居民人数；
（2）该社区的管理人员有男、女个2名，若从中选2名参加消防知识培训，试用列表或画树状图的方法，求恰好选中一男一女的概率．

科目数学题型解答题难度中等

某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“ $A$ ． $5 G$ 通讯； $B$ ．民法典； $C$ ．北斗导航； $D$ ．数字经济； $E$ ．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有　　人；

（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；

（3）最关注话题扇形统计图中的 $a =$ 　　，话题 $D$ 所在扇形的圆心角是　　度；

（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？

已知：如图， $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $BC$ 延长线上的一点，且 $CE = BC$ ．

求证： $ΔABC ≅ ΔDCE$ ．

解方程组： $\{\begin{matrix} 3 x + \frac{1}{2} y = 8, \\ 2 x - \frac{1}{2} y = 2 \cdot \end{matrix}$

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ． $M$ 为线段 $OB$ 上的一个动点，过点 $M$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，交抛物线于点 $P$ ，交 $BC$ 于点 $Q$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$ 作 $PN ⊥ BC$ ，垂足为点 $N$ ．设 $M$ 点的坐标为 $M (m, 0)$ ，请用含 $m$ 的代数式表示线段 $PN$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $PN$ 有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $CD$ 是中线， $AC = BC$ ，一个以点 $D$ 为顶点的 $45 °$ 角绕点 $D$ 旋转，使角的两边分别与 $AC$ 、 $BC$ 的延长线相交，交点分别为点 $E$ 、 $F$ ， $DF$ 与 $AC$ 交于点 $M$ ， $DE$ 与 $BC$ 交于点 $N$ ．

（1）如图1，若 $CE = CF$ ，求证： $DE = DF$ ；

（2）如图2，在 $∠ EDF$ 绕点 $D$ 旋转的过程中，试证明 $C D^{2} = CE \cdot CF$ 恒成立；

（3）若 $CD = 2$ ， $CF = \sqrt{2}$ ，求 $DN$ 的长．

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