某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这-优题课

某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：幂的乘方与积的乘方

如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $A B C D$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D ， B C$ 的延长线交于点 $E$ ，延长 $C B$ 交 $P A$ 于点 $P$ ， $∠ B A P + ∠ D C E ＝ 90 °$ ．

（1）求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $A C$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C ＝ 2$ ， $A D$ 的长为＿＿＿＿＿＿．

如图，用一根 $60$ 厘米的铁丝制作一个“日”字型框架 $A B C D$ ，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架 $A B C D$ 的面积为 $144$ 平方厘米，则 $A B$ 的长为多少厘米？

（2）矩形框架 $A B C D$ 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿平方厘米．

某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为＿＿＿＿＿＿名；

（2）补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校 $800$ 名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，分别以点 $A ， D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $M ， N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A B ， A D$ ， $A C$ 于点 $E ， O ， F$ ，连接 $D E ， D F$ ．

（1）由作图可知，直线 $M N$ 是线段 $A D$ 的＿＿＿＿＿＿．

（2）求证：四边形AEDF是菱形．

为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号 $1 ， 2 ， 3 ， 4$ ，分别写在完全相同的 $4$ 张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．

（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“ $4$ ”的概率是＿＿＿＿＿＿；

（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“ $2$ ”和“ $3$ ”的概率．