（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段-优题课

（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　；
（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S₁和面积为S₂的两部分（设S₁＜S₂），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 $\frac{2}{3}$ ，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？

如图，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 在第一象限内交于点 $A (1, 2)$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $ΔBCP$ 的面积等于2，求 $P$ 点的坐标．

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $O$ ，　　．

求证：　　．

已知点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $BD$ 的中点．

（1）如图1，若点 $E$ 是 $OD$ 的中点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使得 $∠ CEF = 90 °$ ，过点 $E$ 作 $ME / / AD$ ，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $CD$ 于点 $N$ ．求证：

① $∠ AEM = ∠ FEM$ ； ②点 $F$ 是 $AB$ 的中点；

（2）如图2，若点 $E$ 是 $OD$ 上一点，点 $F$ 是 $AB$ 上一点，且使 $\frac{DE}{DO} = \frac{AF}{AB} = \frac{1}{3}$ ，请判断 $ΔEFC$ 的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$ 是 $OD$ 上的动点（不与 $O$ ， $D$ 重合），连接 $CE$ ，过 $E$ 点作 $EF ⊥ CE$ ，交 $AB$ 于点 $F$ ，当 $\frac{DE}{DB} = \frac{m}{n}$ 时，请猜想 $\frac{AF}{AB}$ 的值（请直接写出结论）．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + 1$ 经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 1)$ 两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_{1} : y = k_{1} x + b_{1} (k_{1}$ ， $b_{1}$ 为常数，且 $k_{1} \neq 0)$ ，直线 $l_{2} : y = k_{2} x + b_{2} (k_{2}$ ， $b_{2}$ 为常数，且 $k_{2} \neq 0)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ．

解决问题：

①若直线 $y = 3 x - 1$ 与直线 $y = mx + 2$ 互相垂直，求 $m$ 的值；

②抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPAB$ 是以 $AB$ 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$ 是抛物线上一动点，且在直线 $AB$ 的上方（不与 $A$ ， $B$ 重合），求点 $M$ 到直线 $AB$ 的距离的最大值．