数学活动﹣求重叠部分的面积（1）问题情境：如图①，将顶角为1-优题课

数学活动﹣求重叠部分的面积

（1）问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积为　　．
（2）探究1：在（1）的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等？如果相等，请给予证明；如果不相等，请说明理由．
（3）探究2：如图③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积．（用α或的三角函数值表示）

科目数学题型解答题难度较难

知识点：解直角三角形

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $AC$ 上的一点，连接 $BE$ ， $DE$ ．

（1）如图1，求证： $ΔBCE ≅ ΔDCE$ ；

（2）如图2，延长 $BE$ 交直线 $CD$ 于点 $F$ ， $G$ 在直线 $AB$ 上，且 $FG = FB$ ．

①求证： $DE ⊥ FG$ ；

②已知正方形 $ABCD$ 的边长为2，若点 $E$ 在对角线 $AC$ 上移动，当 $ΔBFG$ 为等边三角形时，求线段 $DE$ 的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．

有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务，第一次运送 $18 t$ ，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送 $38 t$ ，派了两辆大卡车和11辆小卡车，并且两次派的车都刚好装满．

（1）两种车型的载重量各是多少？

（2）若大卡车运送一次的费用为200元，小卡车运送一次的费用为60元，在第一次运送过程中怎样安排大小车辆，才能使费用最少？（直接写出派车方案）

我市某中学为了解学生的体质健康状况，随机抽取若干名学生进行测试，测试结果分为 $A$ ：良好、 $B$ ：合格、 $C$ ：不合格三个等级．并根据测试结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）此次调查共抽取了　人，扇形统计图中 $C$ 部分圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校共有1800名学生，请估计体质健康状况为“合格”的学生有多少人？

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A (- 1, 6)$ ， $B (- 4, 2)$ ， $C (- 1, 2)$

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到△ $A_{2} B C_{2}$ ，请画出△ $A_{2} B C_{2}$ ，并求出线段 $AB$ 在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留 $π)$ ．

如图，抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 3, 0)$ ，点 $C (0, 4)$ ，作 $CD / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，动点 $M$ 从点 $E$ 出发在线段 $EA$ 上以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 运动，同时动点 $N$ 从点 $A$ 出发在线段 $AC$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 $ΔDMN$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）①当 $MN / / DE$ 时，直接写出 $t$ 的值；

②在点 $M$ 和点 $N$ 运动过程中，是否存在某一时刻，使 $MN ⊥ AD$ ？若存在，直接写出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．