如图,点为斜三棱柱
的侧棱
上一点,
交
于点
,
交
于点
.
(1) 求证:;
(2) 在任意中有余弦定理:
.
拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明
(本小题满分14分)已知函数.
(Ⅰ)若,且函数
在定义域内单调递增,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若,且函数
在
上恰有两个零点,求实数
的取值范围.
(本小题满分14分)已知数列的前
项和为
,数列
是等差数列且有
.
(Ⅰ)分别求数列,
的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列
的前
项和
.
(本小题满分14分)如图,四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,
为
中点.
(Ⅰ)求证://平面
;
(Ⅱ)若为线段
的中点,求证:
平面
.
(本小题满分12分)甲乙两个学校高三年级分别有1100人,1000人,为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况,采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩(发现两校学生的数学成绩都不低于70分),并作出了如下的频数分布统计表,规定考试成绩在内为优秀,甲校:
分组 |
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![]() |
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![]() |
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频数 |
2 |
3 |
10 |
15 |
15 |
![]() |
3 |
1 |
乙校:
分组 |
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频数 |
1 |
2 |
9 |
8 |
10 |
10 |
![]() |
3 |
(Ⅰ)计算的值;
(Ⅱ)由以上统计数据填写下面列联表,若按是否优秀来判断,是否有97.5% 的把握认为两个学校的数学成绩有差异.
甲校 |
乙校 |
总计 |
|
优秀 |
|||
非优秀 |
|||
总计 |
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附:
(本小题满分12分)已知向量,函数
.
(Ⅰ)求函数的最大值及取得最大值时相应的
的集合;
(Ⅱ)在中,角
的对边分别是
,且满足
,求
的面积.