已知关于x的方程mx22（m1）xm10有两个实数根，且m为-优题课

题文

已知关于x的方程mx²+2（m-1）x+m-1=0有两个实数根，且m为非负整数．
（1）求m的值；
（2）将抛物线C₁：y=mx²+2（m-1）x+m-1向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线C2，若抛物线C₂过点A（2，b）和点B（4，2b+1），求抛物线C2的表达式；
（3）将抛物线C2绕点（n+1，n）旋转180°得到抛物线C3，若抛物线C3与直线
有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值二次函数在给定区间上的最值

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先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{m - 1}) \cdot \frac{m^{2} - 1}{m}$ ，其中 $m = 2$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} 3 x - 1 ⩾ x + 1 \\ 4 x - 2 < x + 4 \end{matrix}$ ．

计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(\sqrt[3]{2} - 1)}^{0} - \sqrt{4}$ ．

已知四边形 $ABCD$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 是射线 $BC$ 上的动点，以 $AE$ 为直角边在直线 $BC$ 的上方作等腰直角三角形 $AEF$ ， $∠ AEF = 90 °$ ，设 $BE = m$ ．

（1）如图，若点 $E$ 在线段 $BC$ 上运动， $EF$ 交 $CD$ 于点 $P$ ， $AF$ 交 $CD$ 于点 $Q$ ，连结 $CF$ ，

①当 $m = \frac{1}{3}$ 时，求线段 $CF$ 的长；

②在 $ΔPQE$ 中，设边 $QE$ 上的高为 $h$ ，请用含 $m$ 的代数式表示 $h$ ，并求 $h$ 的最大值；

（2）设过 $BC$ 的中点且垂直于 $BC$ 的直线被等腰直角三角形 $AEF$ 截得的线段长为 $y$ ，请直接写出 $y$ 与 $m$ 的关系式．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y = - x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $OB$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $BC$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似时，求线段 $EF$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $EC$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

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