解方程：x24x20．-优题课

如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 是直径， $CD$ 是弦， $AB ⊥ CD$ ，垂足为 $P$ ，过点 $D$ 的 $⊙ O$ 的切线与 $AB$ 延长线交于点 $E$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $CE$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 半径为3， $CE = 4$ ，求 $\sin ∠ DEC$ ．

已知反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过点 $A (2, 3)$ ．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）如图，在反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上点 $A$ 的右侧取点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交 $x$ 轴于点 $H$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $CH$ 于点 $D$ ．

①过点 $A$ ，点 $C$ 分别作 $x$ 轴， $y$ 轴的垂线，两线相交于点 $B$ ，求证： $O$ ， $B$ ， $D$ 三点共线；

②若 $AC = 2 OA$ ，求证： $∠ AOD = 2 ∠ DOH$ ．

如图， $ΔOAD$ 为等腰直角三角形，延长 $OA$ 至点 $B$ 使 $OB = OD$ ， $ABCD$ 是矩形，其对角线 $AC$ ， $BD$ 交于点 $E$ ，连接 $OE$ 交 $AD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔOAF ≅ ΔDAB$ ；

（2）求 $\frac{DF}{AF}$ 的值．

某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现，每天销售量 $y$ （瓶 $)$ 与每瓶售价 $x$ （元 $)$ 之间存在一次函数关系（其中 $10 ⩽ x ⩽ 21$ ，且 $x$ 为整数）．当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶．

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为 $w$ 元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是多少元？

为庆祝中国共产党成立100周年，某中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取20名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表：

组别	成绩范围	频数
$A$	$60 ~ 70$	2
$B$	$70 ~ 80$	$m$
$C$	$80 ~ 90$	9
$D$	$90 ~ 100$	$n$

（1）分别求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）若把每组中各学生的成绩用这组数据的中间值代替（如 $60 ~ 70$ 的中间值为 $65)$ 估计全校学生的平均成绩；

（3）从 $A$ 组和 $D$ 组的学生中随机抽取2名学生，用树状图或列表法求这2名学生都在 $D$ 组的概率．