已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、-优题课

已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF．（不需证明）
（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心对称式和轮换对称式

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $AB$ 固定，高 $AB$ 为 $50 cm$ ，连杆 $BC$ 长度为 $70 cm$ ，手臂 $CD$ 长度为 $60 cm$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $AB$ ， $BC$ 与 $CD$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，使 $∠ ABC = 143 °$ ， $CD / / l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $DE$ 的长（精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110 cm$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $BC$ ，手臂 $CD$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

Ⅰ号无人机从海拔 $10 m$ 处出发，以 $10 m / \min$ 的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔 $30 m$ 处同时出发，以 $a (m / \min)$ 的速度匀速上升，经过 $5 \min$ 两架无人机位于同一海拔高度 $b (m)$ ．无人机海拔高度 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 的关系如图．两架无人机都上升了 $15 \min$ ．

（1）求 $b$ 的值及Ⅱ号无人机海拔高度 $y (m)$ 与时间 $x (\min)$ 的关系式；

（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

绍兴莲花落，又称"莲花乐"，"莲花闹"，是绍兴一带的曲艺．为了解学生对该曲种的熟悉度，某校设置了：非常了解、了解、了解很少、不了解四个选项，随机抽查了部分学生进行问卷调查，要求每名学生只选其中的一项，并将抽查结果绘制成不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生有多少人？并求图2中"了解"的扇形圆心角的度数；

（2）全校共有1200名学生，请你估计全校学生中"非常了解"、"了解"莲花落的学生共有多少人．

（1）计算： $4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + {(2 - \sqrt{3})}^{0}$ ．

（2）解不等式： $5 x + 3 ⩾ 2 (x + 3)$ ．

【推理】

如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $CD$ 上一动点，将正方形沿着 $BE$ 折叠，点 $C$ 落在点 $F$ 处，连结 $BE$ ， $CF$ ，延长 $CF$ 交 $AD$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $ΔBCE ≅ ΔCDG$ ．

【运用】

（2）如图2，在【推理】条件下，延长 $BF$ 交 $AD$ 于点 $H$ ．若 $\frac{HD}{HF} = \frac{4}{5}$ ， $CE = 9$ ，求线段 $DE$ 的长．

【拓展】

（3）将正方形改成矩形，同样沿着 $BE$ 折叠，连结 $CF$ ，延长 $CF$ ， $BF$ 交直线 $AD$ 于 $G$ ， $H$ 两点，若 $\frac{AB}{BC} = k$ ， $\frac{HD}{HF} = \frac{4}{5}$ ，求 $\frac{DE}{EC}$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）．