某公司经营一种绿茶，每千克成本为50元。市场调查发现，在一段-优题课

抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3$ 交 $x$ 轴于 $A ， B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左边）， $C$ 是第一象限抛物线上一点，直线 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ．

（1）直接写出 $A ， B$ 两点的坐标；

（2）如图（1），当 $O P ＝ O A$ 时，在抛物线上存在点 $D$ （异于点 $B$ ），使 $B ， D$ 两点到 $A C$ 的距离相等，求出所有满足条件的点 $D$ 的横坐标；

（3）如图（2），直线 $B P$ 交抛物线于另一点 $E$ ，连接 $C E$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，点 $C$ 的横坐标为 $m$ ．求 $\frac{FP}{OP}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

【问题提出】

如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D B$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，探究 $\frac{AF}{AB}$ 的值．

【问题探究】

（1）先将问题特殊化．如图（2），当 $∠ B A C ＝ 60 °$ 时，直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值；

（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．

【问题拓展】

如图（3），在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ A C$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $G$ 是边 $B C$ 上一点， $\frac{CG}{BC} = \frac{1}{n} （ n ＜ 2 ）$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $D E ＝ D G$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．直接写出 $\frac{AF}{AB}$ 的值（用含 $n$ 的式子表示）．

在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在 $A$ 处开始减速，此时白球在黑球前面 $70 c m$ 处．

小聪测量黑球减速后的运动速度 $v$ （单位： $c m / s$ ）、运动距离 $y$ （单位： $c m$ ）随运动时间 $t$ （单位： $s$ ）变化的数据，整理得下表．

运动时间t/s	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
运动速度v/cm/s	$10$	$9.5$	9	$8.5$	$8$
运动距离y/cm	$0$	$9.75$	19	$27.75$	$36$

小聪探究发现，黑球的运动速度 $v$ 与运动时间 $t$ 之间成一次函数关系，运动距离 $y$ 与运动时间 $t$ 之间成二次函数关系．

（1）直接写出 $v$ 关于 $t$ 的函数解析式和 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）当黑球减速后运动距离为 $64 c m$ 时，求它此时的运动速度；

（3）若白球一直以 $2 c m / s$ 的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．

如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点 $C$ ， $A E ， B E$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ ， $A E$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ．

（1）判断 $△ B D E$ 的形状，并证明你的结论；

（2）若 $A B ＝ 10$ ， $B E ＝ 2 \sqrt{10}$ ，求 $B C$ 的长．

为庆祝中国共青团成立 $100$ 周年，某校开展四项活动： $A$ 项参观学习， $B$ 项团史宣讲， $C$ 项经典诵读， $D$ 项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是＿＿＿＿＿， $B$ 项活动所在扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿＿，条形统计图中 $C$ 项活动的人数是＿＿＿＿＿；

（2）若该校约有 $2000$ 名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．