山东省第23届运动会在济宁隆重开幕，根据大会组委会安排，某校-优题课

山东省第23届运动会在济宁隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y₁（元）和y₂（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；
（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，菱形 $OABC$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$ ．

（1）求图象过点 $B$ 的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$ ， $B$ 的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 $y$ （单位： $m)$ 与飞行时间 $x$ （单位： $s)$ 之间具有函数关系 $y = - 5 x^{2} + 20 x$ ，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 $15 m$ 时，飞行时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $AD ⊥ CD$ 于点 $D$ ，且 $AC$ 平分 $∠ DAB$ ，求证：

（1）直线 $DC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2） $A C^{2} = 2 AD \cdot AO$ ．

如图1，经过原点 $O$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于另一点 $A (\frac{3}{2}$ ， $0)$ ，在第一象限内与直线 $y = x$ 交于点 $B (2, t)$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点 $C$ ，满足以 $B$ ， $O$ ， $C$ 为顶点的三角形的面积为2，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图2，若点 $M$ 在这条抛物线上，且 $∠ MBO = ∠ ABO$ ，在（2）的条件下，是否存在点 $P$ ，使得 $ΔPOC ∽ ΔMOB$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠，顶点 $B$ 恰好与 $CD$ 边上的动点 $P$ 重合（点 $P$ 不与点 $C$ ， $D$ 重合），折痕为 $MN$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上，连接 $MB$ ， $MP$ ， $BP$ ， $BP$ 与 $MN$ 相交于点 $F$ ．

（1）求证： $ΔBFN ∽ ΔBCP$ ；

（2）①在图2中，作出经过 $M$ ， $D$ ， $P$ 三点的 $⊙ O$ （要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $AB = 4$ ，随着点 $P$ 在 $CD$ 上的运动，若①中的 $⊙ O$ 恰好与 $BM$ ， $BC$ 同时相切，求此时 $DP$ 的长．