（本小题满分10分）选修4-1：平面几何证明选讲
如图，在
中，
，以
为直径的⊙
交
于
，过点作⊙的切线交
于
，
交⊙于点
．
（Ⅰ）证明：是的中点；
（Ⅱ）证明：
．
已知函数
．
（Ⅰ）若
，求函数
的极值；
（Ⅱ）若
在区间
内有唯一的零点
，求
的取值范围．
设函数
是定义域为
的奇函数．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，且
在
上的最小值为
，求
的值．
设
（Ⅰ）计算：
的值；
（Ⅱ）猜想
具备的一个性质，并证明．
（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（Ⅰ） 完成2×2列联表；
| 正误 年龄 |
正确 |
错误 |
合计 |
| 20~30 |
|||
| 30~40 |
|||
| 合计 |
（Ⅱ）判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由．（下面的临界值表供参考）
 |
0．10 |
0．05 |
0．010 |
0．005 |
 |
2．706 |
3．841 |
6．635 |
7．879 |
（参考公式：
，
）
满足：
,且
是
,
的等差中项.
,
,求
.