如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△A-优题课

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心圆内接四边形的性质

某学生化简分式 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ 出现了错误，解答过程如下：

原式 $= \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ （第一步）

$= \frac{1 + 2}{(x + 1) (x - 1)}$ （第二步）

$= \frac{3}{x^{2} - 1}$ ．（第三步）

（1）该学生解答过程是从第　　步开始出错的，其错误原因是　　；

（2）请写出此题正确的解答过程．

定义：对于给定的两个函数，任取自变量 $x$ 的一个值，当 $x < 0$ 时，它们对应的函数值互为相反数；当 $x ⩾ 0$ 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 $y = x - 1$ ，它的相关函数为 $y = \{\begin{matrix} - x + 1 (x < 0) \\ x - 1 (x ⩾ 0) \end{matrix}$ ．

（1）已知点 $A (- 5, 8)$ 在一次函数 $y = ax - 3$ 的相关函数的图象上，求 $a$ 的值；

（2）已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - \frac{1}{2}$ ．①当点 $B (m, \frac{3}{2})$ 在这个函数的相关函数的图象上时，求 $m$ 的值；

②当 $- 3 ⩽ x ⩽ 3$ 时，求函数 $y = - x^{2} + 4 x - \frac{1}{2}$ 的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点 $M$ ， $N$ 的坐标分别为 $(- \frac{1}{2}$ ， $1)$ ， $(\frac{9}{2}$ ， $1)$ ，连结 $MN$ ．直接写出线段 $MN$ 与二次函数 $y = - x^{2} + 4 x + n$ 的相关函数的图象有两个公共点时 $n$ 的取值范围．

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AB = 10$ ， $BC = 6$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $AB - BC$ 向终点 $C$ 运动，在 $AB$ 上以每秒5个单位长度的速度运动，在 $BC$ 上以每秒3个单位长度的速度运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 方向以每秒 $\frac{4}{3}$ 个单位长度的速度运动， $P$ ， $Q$ 两点同时出发，当点 $P$ 停止时，点 $Q$ 也随之停止．设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒．

（1）求线段 $AQ$ 的长；（用含 $t$ 的代数式表示）

（2）连结 $PQ$ ，当 $PQ$ 与 $ΔABC$ 的一边平行时，求 $t$ 的值；

（3）如图②，过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，以 $PE$ ， $EQ$ 为邻边作矩形 $PEQF$ ，点 $D$ 为 $AC$ 的中点，连结 $DF$ ．设矩形 $PEQF$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ．①当点 $Q$ 在线段 $CD$ 上运动时，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；②直接写出 $DF$ 将矩形 $PEQF$ 分成两部分的面积比为 $1 : 2$ 时 $t$ 的值．

【再现】如图①，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别是 $AB$ ， $AC$ 的中点，可以得到： $DE / / BC$ ，且 $DE = \frac{1}{2} BC$ ．（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，判断四边形 $EFGH$ 的形状，并加以证明．

【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形 $ABCD$ 中，满足什么条件时，四边形 $EFGH$ 是菱形？你添加的条件是：　　．（只添加一个条件）

（2）如图③，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ．若 $AO = OC$ ，四边形 $ABCD$ 面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　．

甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为 $y$ （件 $)$ ．甲车间加工的时间为 $x$ （时 $)$ ， $y$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）甲车间每小时加工服装件数为　　件；这批服装的总件数为　　件．

（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．