将下列几何体分类，并说明理由．-优题课

如图1，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 与 $y$ 轴交于点 $A (0, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (- 2, 0)$ ， $C (6, 0)$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接 $AB$ ， $AC$ ，设点 $P (m, n)$ 是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $PG / / AB$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $x$ 轴于点 $G$ ．设线段 $DG$ 的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $m$ 的函数关系式，并注明 $m$ 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若 $ΔPDG$ 的面积为 $\frac{49}{12}$ ，

①求点 $P$ 的坐标；

②设 $M$ 为直线 $AP$ 上一动点，连接 $OM$ ，直线 $OM$ 交直线 $AC$ 于点 $S$ ，则点 $M$ 在运动过程中，在抛物线上是否存在点 $R$ ，使得 $ΔARS$ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$ 及其对应的点 $R$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

若一个两位数十位、个位上的数字分别为 $m$ ， $n$ ，我们可将这个两位数记为 $\overset{̅}{mn}$ ，易知 $\overset{̅}{mn} = 10 m + n$ ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如 $\overset{̅}{abc} = 100 a + 10 b + c$ ．

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若 $\overset{̅}{2 x} + \overset{̅}{x 3} = 45$ ，则 $x =$ 　　；

②若 $\overset{̅}{7 y} - \overset{̅}{y 8} = 26$ ，则 $y =$ 　　；

③若 $\overset{̅}{t 93} + \overset{̅}{5 t 8} = \overset{̅}{13 t 1}$ ，则 $t =$ 　　；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数 $\overset{̅}{mn}$ 的个位数字与十位数字，可得到一个新数 $\overset{̅}{nm}$ ，则 $\overset{̅}{mn} + \overset{̅}{nm}$ 一定能被　　整除， $\overset{̅}{mn} - \overset{̅}{nm}$ 一定能被　　整除， $\overset{̅}{mn} \cdot \overset{̅}{nm} - mn$ 一定能被　　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用 $532 - 235 = 297)$ ，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　　；

②设任选的三位数为 $\overset{̅}{abc}$ （不妨设 $a > b > c)$ ，试说明其均可产生该黑洞数．

某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元 $/$ 千克，每天的产量 $p$ （百千克）与销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）满足函数关系式 $p = \frac{1}{2} x + 8$ ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量 $q$ （百千克）与销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）满足一次函数关系，部分数据如表：

销售价格 $x$ （元 $/$ 千克）	2	4	$\dots \dots$	10
市场需求量 $q$ （百千克）	12	10	$\dots \dots$	4

已知按物价部门规定销售价格 $x$ 不低于2元 $/$ 千克且不高于10元 $/$ 千克．

（1）直接写出 $q$ 与 $x$ 的函数关系式，并注明自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．

①当每天的半成品食材能全部售出时，求 $x$ 的取值范围；

②求厂家每天获得的利润 $y$ （百元）与销售价格 $x$ 的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当 $x$ 为　　元 $/$ 千克时，利润 $y$ 有最大值；若要使每天的利润不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则 $x$ 应定为　　元 $/$ 千克．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AC$ ， $BC$ 于点 $D$ ， $E$ ，点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，且 $∠ BAC = 2 ∠ CBF$ ．

（1）求证： $BF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的直径为3， $\sin ∠ CBF = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $BC$ 和 $BF$ 的长．

在一次海上救援中，两艘专业救助船 $A$ ， $B$ 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船 $B$ 在 $A$ 的正北方向，事故渔船 $P$ 在救助船 $A$ 的北偏西 $30 °$ 方向上，在救助船 $B$ 的西南方向上，且事故渔船 $P$ 与救助船 $A$ 相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船 $P$ 与救助船 $B$ 之间的距离；

（2）若救助船 $A$ ， $B$ 分别以40海里 $/$ 小时、30海里 $/$ 小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 $P$ 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．