已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点.（1）-优题课

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是坐标原点，求面积的最大值.

科目数学题型解答题难度中等

已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，右焦点为 $F (\sqrt{2}, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^{2} + y^{2} = b^{2} (x > 0)$ 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 $| MN | = \sqrt{3}$ ．

在四棱锥中，底面 $ABCD$ 是正方形，若 $AD = 2, QD = QA = \sqrt{5}, QC = 3$ ．

（1）证明：平面 $QAD ⊥$ 平面 $ABCD$ ；

（2）求二面角 $B - QD - A$ 的平面角的余弦值．

在 $△ ABC$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边长分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $b = a + 1$ ， $c = a + 2$ .．

（1）若 $2 \sin C = 3 \sin A$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $△ ABC$ 为钝角三角形?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

记 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{3} = S_{5}, a_{2} a_{4} = S_{4}$ ．

（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

（2）求使 $S_{n} > a_{n}$ 成立的n的最小值．

已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ .

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）设 $a$ ， $b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ .