某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度-优题课

题文

某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0．5，其它费用为每小时1250元．
（1）请把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数,并指明定义域；
（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？

科目数学题型解答题难度较难

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（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设表示甲、乙两人中被聘用的人数，求的数学期望．

设 $a, b, c, d$ 均为正数,且 $a + b = c + d$ .

证明：
（Ⅰ）若 $a b > c d$ ,则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；
（Ⅱ） $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $|a - b| < |c - d|$ 的充要条件.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中,曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数,且 $t \neq 0$ ）,其中 $0 \leq α < π$ ,在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 $C_{2} : ρ = 2 \sin θ, C_{3} : 2 \sqrt{3} \cos θ$

（Ⅰ）求 $C_{2}$ 与 $C_{3}$ 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相交于点 $A$ , $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 相交于点 $B$ ,求 $|A B|$ 最大值.

如图 $O$ 是等腰三角形 $A B C$ 内一点,圆 $O$ 与 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 交于 $M, N$ 两点,与底边上的高交于点 $G$ ,且与 $A B, A C$ 分别相切于 $E, F$ 两点.

（Ⅰ）证明 $E F / / B C$

（Ⅱ）若 $A G$ 等于圆 $O$ 半径,且 $A E = M N = 2 \sqrt{3}$ ,求四边形 $E B C F$ 的面积.

已知 $f (x) = \ln x + a (1 - x)$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $f (x)$ 有最大值,且最大值大于 $2 a - 2$ 时,求 $a$ 的取值范围.

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