2014年五一节期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控-优题课

2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：

（1）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；
（3）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．

科目数学题型解答题难度较难

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$ ，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$ ．由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$ ．

（1）求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率；

（2）求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ 则 $E ({\sum X_{i}}_{i = 1}^{n}) = {\sum q_{i}}_{i = 1}^{n}$ ．记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 1$ ．令 $b_{n} = \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别为数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

（1）若 $3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3}$ ， $S_{3} + T_{3} = 21$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）若 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且 $S_{99} - T_{99} = 99$ ，求 $d$ ．

已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}$ ．

如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

（1）证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

（2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 为 $150 °$ 时，求 $B_{2} P$ ．

已知在 $△ A B C$ 中， $A + B = 3 C$ ， $2 \sin (A - C) = \sin B$ ．

（1）求 $\sin A$ ；

（2）设 $A B = 5$ ，求 $A B$ 边上的高．

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