(本小题满分16分)已知椭圆的两个焦点分别为
,A为上端点,P为椭圆上任一点(与左、右顶点不重合).
(1)若,求椭圆的离心率;
(2)若且
,求椭圆方程;
(3)若存在一点P使为钝角,求椭圆离心率的取值范围.
(本小题满分12分)某区组织群众性登山健身活动,招募了名师生志愿者,将所有志愿者现按年龄情况分为
等六个层次,其频率分布直方图如图所示: 已知
之间的志愿者共
人.
(Ⅰ)求和
之间的志愿者人数
;
(Ⅱ)已知和
之间各有
名英语教师,现从这两个层次各选取
人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人选中都至少有1名英语教师的概率是多少?
(Ⅲ)组织者从之间的志愿者(其中共有
名女教师,其余全为男教师)中随机选取
名担任后勤保障工作,其中女教师的数量为
,求
的概率和分布列.
(本小题满分12分)的三个内角
所对的边分别为
,向量
,
,且
.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)现在给出下列三个条件:①;②
;③
,试从中再选择两个条件以确定
,求出所确定的
的面积.
(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分).
(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列中,
是数列
的前
项和,对任意
,有
.函数
,数列
的首项
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令求证:
是等比数列并求
通项公式;
(Ⅲ)令,
,求数列
的前n项和
.
(本小题满分12分)已知某种稀有矿石的价值(单位:元)与其重量
(单位:克)的平方成正比,且
克该种矿石的价值为
元。
⑴写出(单位:元)关于
(单位:克)的函数关系式;
⑵若把一块该种矿石切割成重量比为的两块矿石,求价值损失的百分率;
⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时,切割的重量比为多少时,价值损失的百分率最大。(注:价值损失的百分率;在切割过程中的重量损耗忽略不计)
(本小题满分12分)如图,在矩形中,
,又
⊥平面
,
.
(Ⅰ)若在边上存在一点
,使
,
求的取值范围;
(Ⅱ)当边上存在唯一点
,使
时,
求二面角的余弦值.