（本小题满分
分）已知椭圆
：
的长轴长为4，且过点
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
、
、
是椭圆上的三点，若
，点
为线段
的中点，
、
两点的坐标分别为
、
，求证：
．
在今年伦敦奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是
．
（Ⅰ）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（Ⅱ）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率.
（Ⅲ）设随机变量
为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求的分布列及期望
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若将的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求函数在区间
上的最大值和最小值．
已知函数
．
（Ⅰ）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，试比较
与1的大小；
（Ⅲ）求证：
．
直线
与椭圆
交于
，
两点，已知
，
，若
且椭圆的离心率
，又椭圆经过点
，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点
（
为半焦距），求直线的斜率
的值；
（Ⅲ）试问：
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
已知数列
和
满足：
,
其中
为实数，
为正整数．
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和
；
（Ⅲ）设
，是否存在实数，使得对任意正整数，都有
成立? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．