某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入
（x2－600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之和？并求出此时商品的每件定价．
棱长为1的正方体
中，
分别为棱
的中点．
（1）若平面
与平面
的交线为
，与底面
的交点为点
，试求
的长；
（2）求二面角
的余弦值．
“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
 |
0．10 |
0．05 |
0．010 |
0．005 |
 |
2．706 |
3．841 |
6．635 |
7．879 |
（参考公式：
其中
）
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
已知正项数列
的前
项和为
，对任意
，有
．
（1）求数列的通项公式；
（2）令
，设
的前项和为
，求证：
（本小题满分12分）已知函数
，
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若k为正常数，设
，求函数
的最小值；
（Ⅲ）若
，证明：
．
已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆过点
，且它的离心率
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）与圆
相切的直线
交椭圆于
两点，若椭圆上一点
满足
，求实数
的取值范围．