（本题6分）如图，四边形ABCD中，AB3，AD4，BC13-优题课

（本题6分）如图，四边形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，∠A=90°，求BD的长和四边形ABCD的面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：三角形的五心

解分式方程： $\frac{2 x - 1}{x + 3} = 1$ ．

计算： $x (x + 2) + (1 + x) (1 - x)$ ．

如图，锐角三角形 $ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $AG$ 交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，交 $BC$ 边于点 $F$ ，连接 $BG$ ．

（1）求证： $ΔABG ∽ ΔAFC$ ．

（2）已知 $AB = a$ ， $AC = AF = b$ ，求线段 $FG$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．

（3）已知点 $E$ 在线段 $AF$ 上（不与点 $A$ ，点 $F$ 重合），点 $D$ 在线段 $AE$ 上（不与点 $A$ ，点 $E$ 重合）， $∠ ABD = ∠ CBE$ ，求证： $B G^{2} = GE \cdot GD$ ．

在直角坐标系中，设函数 $y = a x^{2} + bx + 1 (a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0)$ ．

（1）若该函数的图象经过 $(1, 0)$ 和 $(2, 1)$ 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组 $a$ ， $b$ 的值，使函数 $y = a x^{2} + bx + 1$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知 $a = b = 1$ ，当 $x = p$ ， $q (p$ ， $q$ 是实数， $p \neq q)$ 时，该函数对应的函数值分别为 $P$ ， $Q$ ．若 $p + q = 2$ ，求证： $P + Q > 6$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 交 $AC$ 边于点 $D$ ， $AE ⊥ BC$ 于点 $E$ ．已知 $∠ ABC = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ．

（1）求证： $AB = BD$ ；

（2）若 $AE = 3$ ，求 $ΔABC$ 的面积．