在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内-优题课

在△ABC中， $AB ＝ 6 ，$ $AC ＝ 8 ，$ $BC ＝ 10$ ，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．

①如图1，连接GH、AD，当 $GH ⊥ AD$ 时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当AGDH的面积最大时，过A作 $AP ⊥ EF$ 于P，且 $AP ＝ AD$ ，求k的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行四边形的性质矩形的判定与性质相似形综合题正方形的判定与性质

如图，已知 $BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段 $BD$ 的垂直平分线，分别交 $AD$ 、 $BC$ 于 $E$ 、 $F$ （保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，问四边形 $BEDF$ 是什么四边形？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，菱形 $OABC$ 的顶点 $B$ ， $C$ 都在第一象限， $\tan ∠ AOC = \frac{4}{3}$ ，将菱形绕点 $A$ 按顺时针方向旋转角 $α (0 ° < ∠ α < ∠ AOC)$ 得到菱形 $FADE$ （点 $O$ 的对应点为点 $F)$ ， $EF$ 与 $OC$ 交于点 $G$ ，连接 $AG$ ．

（1）求点 $B$ 的坐标．

（2）当 $OG = 4$ 时，求 $AG$ 的长．

（3）求证： $GA$ 平分 $∠ OGE$ ．

（4）连接 $BD$ 并延长交 $x$ 轴于点 $P$ ，当点 $P$ 的坐标为 $(12, 0)$ 时，求点 $G$ 的坐标．

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $ΔABC$ 中， $CD$ 为角平分线， $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，求证： $CD$ 为 $ΔABC$ 的完美分割线．

（2）在 $ΔABC$ 中， $∠ A = 48 °$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 为等腰三角形，求 $∠ ACB$ 的度数．

（3）如图2， $ΔABC$ 中， $AC = 2$ ， $BC = \sqrt{2}$ ， $CD$ 是 $ΔABC$ 的完美分割线，且 $ΔACD$ 是以 $CD$ 为底边的等腰三角形，求完美分割线 $CD$ 的长．

某商场销售 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

	$A$	$B$
进价（万元 $/$ 套）	1.5	1.2
售价（万元 $/$ 套）	1.65	1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）该商场计划购进 $A$ ， $B$ 两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少 $A$ 种设备的购进数量，增加 $B$ 种设备的购进数量，已知 $B$ 种设备增加的数量是 $A$ 种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问 $A$ 种设备购进数量至多减少多少套？

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 10$ ，弦 $AC = 6$ ， $∠ BAC$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求 $DE$ 的长．