先化简，再求值，其中-优题课

如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $MN$ ，某快递员从小路旁的 $A$ 处出发沿南偏东 $53 °$ 方向行走 $258 m$ 将快递送至 $B$ 楼，又继续从 $B$ 楼沿南偏西 $30 °$ 方向行走 $172 m$ 将快递送至 $C$ 楼，求此时快递员到小路 $MN$ 的距离．（计算结果精确到 $1 m$ ．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

某校举办学生综合素质大赛，分“单人项目”和“双人项目”两种形式，比赛题目包括下列五类： $A$ ．人文艺术； $B$ ．历史社会； $C$ ．自然科学； $D$ ．天文地理； $E$ ．体育健康．

（1）若小明参加“单人项目”，他从中抽取一个题目，那么恰好抽中“自然科学”类题目的概率为　　．

（2）小林和小丽参加“双人项目”，比赛规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，求他们抽到“天文地理”和“体育健康”类题目的概率是多少？（用画树状图或列表的方法求解）

某校数学兴趣小组发现，很多同学矿泉水没有喝完便扔掉，造成了极大的浪费，为增强同学们的节水意识，小组成员在学校的春季运动会上，随机对部分同学半天时间内喝矿泉水的浪费情况进行了问卷调查（半天时间每人按一瓶 $500 mL$ 的矿泉水量计算）．问卷中将同学们扔掉的矿泉水瓶中剩余水量大致分为四种： $A$ ．全部喝完； $B$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{1}{4}$ ； $C$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{1}{2}$ ； $D$ ．喝剩约满瓶的 $\frac{3}{4}$ ．小组成员将收集的调查问卷进行数据整理，并根据整理结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）此次问卷共调查了多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）计算平均每人半天浪费的矿泉水约为多少毫升？

（4）请估计这次春季运动会全校1000名同学半天浪费的水量相当于多少瓶矿泉水（每瓶按 $500 mL$ 计算）．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，分别取 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，连接 $EF$ ， $FG$ ， $GH$ ， $HE$ ，求证：四边形 $EFGH$ 是菱形．

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 5 \sqrt{3} x + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A (x_{1}$ ， $0)$ ， $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，

（1）若抛物线的对称轴为 $x = \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值；

（2）若 $a = 15$ ，求 $c$ 的取值范围；

（3）若该抛物线与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，连接 $BD$ ，且 $∠ OBD = 60 °$ ，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $E$ ，点 $F$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $F$ 的纵坐标为 $3 + \frac{1}{2 a}$ ，连接 $AF$ ，满足 $∠ ADB = ∠ AFE$ ，求该二次函数的解析式．