已知关于的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长．（1-优题课

已知关于的一元二次方程，其中、、分别为△ABC三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由：
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？

在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．

先化简，再求值： $(a + 2) (a - 2) + a (1 - a)$ ，其中 $a = \sqrt{5} + 4$ ．

已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ ．

（1）若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = c = - 2$ ，求方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的根的判别式的值；

（2）如图所示，该二次函数的图象与 $x$ 轴交于点 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ ，且 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在线段 $OC$ 上，连接 $AC$ 、 $BD$ ，满足 $∠ ACO = ∠ ABD$ ， $- \frac{b}{a} + c = x_{1}$ ．

①求证： $ΔAOC ≅ ΔDOB$ ；

②连接 $BC$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，点 $F (0, x_{1} - x_{2})$ 在 $y$ 轴的负半轴上，连接 $AF$ ，且 $∠ ACO = ∠ CAF + ∠ CBD$ ，求 $\frac{c}{x_{1}}$ 的值．

如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上不同的两点，直线 $BD$ 交线段 $OC$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $CF$ 于点 $F$ ，若 $OC = 3 CE$ ，且 $9 (E F^{2} - C F^{2}) = O C^{2}$ ．

（1）求证：直线 $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $OD$ 、 $AD$ 、 $AC$ 、 $DC$ ，若 $∠ COD = 2 ∠ BOC$ ．

①求证： $ΔACD ∽ ΔOBE$ ；

②过点 $E$ 作 $EG / / AB$ ，交线段 $AC$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $AC$ 的中点，若 $AD = 4$ ，求线段 $MG$ 的长度．

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