如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急-优题课

如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援 .此时C地位于A地北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里 .求A、C两地之间的距离.（参考数据:≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1）.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．

（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？

（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完． $)$

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ ABC = 30 °$ ，则： $AC = \frac{1}{2} AB$ ．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $AB$ 边上中线 $CE$ ，由于 $CE = \frac{1}{2} AB$ ，易得结论：① $ΔACE$ 为等边三角形；② $BE$ 与 $CE$ 之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$ 是边 $CB$ 上任意一点，连接 $AD$ ，作等边 $ΔADE$ ，且点 $E$ 在 $∠ ACB$ 的内部，连接 $BE$ ．试探究线段 $BE$ 与 $DE$ 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$ 为边 $CB$ 延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $BE$ 与 $DE$ 之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(- \sqrt{3}$ ， $1)$ ，点 $B$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点，以 $AB$ 为边作等边 $ΔABC$ ，当 $C$ 点在第一象限内，且 $B (2, 0)$ 时，求 $C$ 点的坐标．

如图，已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 1)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $BC$ 上方的抛物线上求一点 $P$ ，使 $ΔPBC$ 面积为1；

（3）在 $x$ 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$ ，使 $∠ BQC = ∠ BAC$ ？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，说明理由．

如图所示， $⊙ O$ 的半径为4，点 $A$ 是 $⊙ O$ 上一点，直线 $l$ 过点 $A$ ； $P$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点（不与点 $A$ 重合），过点 $P$ 作 $PB ⊥ l$ 于点 $B$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，直径 $PD$ 延长线交直线 $l$ 于点 $F$ ，点 $A$ 是 $\hat{DE}$ 的中点．

（1）求证：直线 $l$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $PA = 6$ ，求 $PB$ 的长．

（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三项测试，他们各自的成绩如下表所示：

应聘者	专业知识	讲课	答辩
甲	70	85	80
乙	90	85	75
丙	80	90	85

按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权 $5 : 4 : 1$ ．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该录取谁？

（2）我市举行了某学科实验操作考试，有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．

①小厉参加实验 $D$ 考试的概率是　　；

②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．