数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们-优题课

小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 $OB$ 与底板的边缘线 $OA$ 所在水平线的夹角为 $120 °$ 时，感觉最舒适（如图① $)$ ．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点 $B$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一直线上， $OA = OB = 24 cm$ ， $BC ⊥ AC$ ， $∠ OAC = 30 °$ ．

（1）求 $OC$ 的长；

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 $O B^{'}$ 与水平线的夹角仍保持 $120 °$ ，求点 $B'$ 到 $AC$ 的距离．（结果保留根号）

病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战"疫"中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组： $100 ⩽ x < 500$ ， $500 ⩽ x < 900$ ， $900 ⩽ x < 1300$ ， $1300 ⩽ x < 1700$ ， $1700 ⩽ x < 2100$ ， $2100 ⩽ x < 2500$ ．

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图．

（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．

据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有"90后"也有"00后"，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关"90后"医务人员的数据：

$C$ 市派出的1614名医护人员中有404人是"90后"；

$H$ 市派出的338名医护人员中有103人是"90后"；

$B$ 市某医院派出的148名医护人员中有83人是"90后"．

（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，"90后"大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ B = ∠ C$ ，过 $BC$ 的中点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $DE = DF$ ；

（2）若 $∠ BDE = 40 °$ ，求 $∠ BAC$ 的度数．

一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和 $n$ 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．

化简： $b (a + b) + (a + b) (a - b)$ ．