（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边O-优题课

（本题14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．

（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图①，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 两点，且与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于 $x$ 轴，并沿 $x$ 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 $P$ 、 $Q$ 两点（点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧），连接 $PQ$ ，在线段 $PQ$ 上方抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $DP$ 、 $DQ$ ．

（Ⅰ）若点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $ΔDPQ$ 面积的最大值，并求此时点 $D$ 的坐标；

（Ⅱ）直尺在平移过程中， $ΔDPQ$ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．

【发现】如图①，已知等边 $ΔABC$ ，将直角三角板的 $60 °$ 角顶点 $D$ 任意放在 $BC$ 边上（点 $D$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），使两边分别交线段 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）若 $AB = 6$ ， $AE = 4$ ， $BD = 2$ ，则 $CF =$ 　　；

（2）求证： $ΔEBD ∽ ΔDCF$ ．

【思考】若将图①中的三角板的顶点 $D$ 在 $BC$ 边上移动，保持三角板与边 $AB$ 、 $AC$ 的两个交点 $E$ 、 $F$ 都存在，连接 $EF$ ，如图②所示，问：点 $D$ 是否存在某一位置，使 $ED$ 平分 $∠ BEF$ 且 $FD$ 平分 $∠ CFE$ ？若存在，求出 $\frac{BD}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

【探索】如图③，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $O$ 为 $BC$ 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点 $O$ 处（其中 $∠ MON = ∠ B)$ ，使两条边分别交边 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 、 $F$ 均不与 $ΔABC$ 的顶点重合），连接 $EF$ ．设 $∠ B = α$ ，则 $ΔAEF$ 与 $ΔABC$ 的周长之比为　　（用含 $α$ 的表达式表示）．

如图，在以线段 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上取一点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．将 $ΔABC$ 沿 $AB$ 翻折后得到 $ΔABD$ ．

（1）试说明点 $D$ 在 $⊙ O$ 上；

（2）在线段 $AD$ 的延长线上取一点 $E$ ，使 $A B^{2} = AC \cdot AE$ ．求证： $BE$ 为 $⊙ O$ 的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $AE$ 、 $CB$ 相交于点 $F$ ，若 $BC = 2$ ， $AC = 4$ ，求线段 $EF$ 的长．

学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离 $y$ （米 $)$ 与时间 $t$ （分钟）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象信息，当 $t =$ 　　分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为　　米 $/$ 分钟；

（2）求出线段 $AB$ 所表示的函数表达式．

一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　　件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？