（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知△AB-优题课

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B，E，H，D四点共圆，F在AC上，且∠DEC=∠FEC．

（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）证明：AE=4F．

科目数学题型解答题难度中等

在如图所示的几何体中,四边形 $A B C D$ 为平行四边形, $∠ A C B = 90^{°}$ , $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ , $E F ∥ A B, F G ∥ B C, E G ∥ A C, A B = 2 E F$ .

（Ⅰ)若 $M$ 是线段 $A D$ 的中点,求证: $G M ∥$ 平面 $A B F E$ ;
（Ⅱ）若 $A C = B C = 2 A E$ ,求二面角 $A - B F - C$ 的大小．

在 $△ A B C$ 中,内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,已知( $\frac{\cos A - 2 \cos C}{\cos B} = \frac{2 c - a}{b}$ ）

（1）求 $\frac{\sin C}{s i n A}$ 的值

(2) 若 $\cos B = \frac{1}{4}$ , $b = 2$ ,求 $△ A B C$ 的面积.

已知函数 $f (x) = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}, h (x) = \sqrt{x}$ ．

(I)设函数 $F (x) = f (x) - h (x)$ ，求 $F (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)设 $a \in R$ ，解关于 $x$ 的方程 $\log_{4} [\frac{3}{2} f (x - 1) - \frac{3}{4}] = \log_{2} h (a - x) - \log_{2} h (4 - x)$ ；

(Ⅲ)试比较 $f (100) h (100) - \sum_{k = 1}^{100} h (k)$ 与 $\frac{1}{6}$ 的大小.

椭圆有两顶点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，过其焦点 $F (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$ ．直线 $A C$ 与直线 $B D$ 交于点 $Q$ ．

（Ⅰ）当 $|C D| = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅱ）当点 $P$ 异于 $A$ 、 $B$ 两点时，求证： $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 为定值．

设 $d$ 为非零实数, $a_{n} = \frac{1}{n} [C_{n}^{1} d + 2 C_{n}^{2} d^{2} + \dots + (n - 1) C_{n}^{n - 1} d^{n - 1} + n C_{n}^{n} d^{n}] (n \in N^{*})$ .

(I) 写出 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 并判断 $\{a_{n}\}$ 是否为等比数列.若是,给出证明；若不是,说明理由；
(II)设 $b_{n} = n d a_{n} (n \in N^{*})$ ,求数列 $\{b n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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