已知：关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值，方程总有两-优题课

在矩形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BD$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是边 $AD$ 上一点．

（1）若 $BP$ 平分 $∠ ABD$ ，交 $AE$ 于点 $G$ ， $PF ⊥ BD$ 于点 $F$ ，如图①，证明四边形 $AGFP$ 是菱形；

（2）若 $PE ⊥ EC$ ，如图②，求证： $AE \cdot AB = DE \cdot AP$ ；

（3）在（2）的条件下，若 $AB = 1$ ， $BC = 2$ ，求 $AP$ 的长．

端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进 $A$ 、 $B$ 两种粽子1100个，购买 $A$ 种粽子与购买 $B$ 种粽子的费用相同．已知 $A$ 种粽子的单价是 $B$ 种粽子单价的1.2倍．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种粽子的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进 $A$ 、 $B$ 两种粽子共2600个，已知 $A$ 、 $B$ 两种粽子的进价不变．求 $A$ 种粽子最多能购进多少个？

已知一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B (5, 0)$ ，若 $OB = AB$ ，且 $S_{ΔOAB} = \frac{15}{2}$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 为 $x$ 轴上一点， $ΔABP$ 是等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．

为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整） $:$

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求出 $a$ ， $b$ 的值；

（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

先化简，再求值： $(a - 9 + \frac{25}{a + 1}) \div (a - 1 - \frac{4 a - 1}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．