（本小题满分10分）如图，已知O是线段AC、DB的交点，且A-优题课

某工厂有甲种原料 $130 kg$ ，乙种原料 $144 kg$ ．现用这两种原料生产出 $A$ ， $B$ 两种产品共30件．已知生产每件 $A$ 产品需甲种原料 $5 kg$ ，乙种原料 $4 kg$ ，且每件 $A$ 产品可获利700元；生产每件 $B$ 产品需甲种原料 $3 kg$ ，乙种原料 $6 kg$ ，且每件 $B$ 产品可获利900元．设生产 $A$ 产品 $x$ 件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：

（1）生产 $A$ ， $B$ 两种产品的方案有哪几种；

（2）设生产这30件产品可获利 $y$ 元，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．

某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“ $A$ ．非常了解”、“ $B$ ．了解”、“ $C$ ．基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）这次调查的市民人数为　　人， $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“ $A$ ．非常了解”的程度．

已知 $ΔABC$ 中， $∠ ABC = ∠ ACB$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $AB$ 、 $AC$ 的中点，求证： $BE = CD$ ．

如图，直角 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $D$ 在 $BC$ 上，连接 $AD$ ，作 $BF ⊥ AD$ 分别交 $AD$ 于 $E$ ， $AC$ 于 $F$ ．

（1）如图1，若 $BD = BA$ ，求证： $ΔABE ≅ ΔDBE$ ；

（2）如图2，若 $BD = 4 DC$ ，取 $AB$ 的中点 $G$ ，连接 $CG$ 交 $AD$ 于 $M$ ，求证：① $GM = 2 MC$ ；② $A G^{2} = AF \cdot AC$ ．

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$ 轴，且点 $(2, 2)$ ， $(1, \frac{5}{4})$ 在抛物线上，点 $P$ 是抛物线上不与顶点 $N$ 重合的一动点，过 $P$ 作 $PA ⊥ x$ 轴于 $A$ ， $PC ⊥ y$ 轴于 $C$ ，延长 $PC$ 交抛物线于 $E$ ，设 $M$ 是 $O$ 关于抛物线顶点 $N$ 的对称点， $D$ 是 $C$ 点关于 $N$ 的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$ 的坐标；

（2）求证：四边形 $PMDA$ 是平行四边形；

（3）求证： $ΔDPE ∽ ΔPAM$ ，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$ 时的点 $P$ 的坐标．