（本题4分）已知求x的值。-优题课

已知：如图，四边形 $ABCD$ ， $AB / / DC$ ， $CB ⊥ AB$ ， $AB = 16 cm$ ， $BC = 6 cm$ ， $CD = 8 cm$ ，动点 $P$ 从点 $D$ 开始沿 $DA$ 边匀速运动，动点 $Q$ 从点 $A$ 开始沿 $AB$ 边匀速运动，它们的运动速度均为 $2 cm / s$ ．点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发，以 $QA$ 、 $QP$ 为边作平行四边形 $AQPE$ ，设运动的时间为 $t (s)$ ， $0 < t < 5$ ．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$ 的代数式表示 $AP$ ；

（2）设四边形 $CPQB$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

（3）当 $QP ⊥ BD$ 时，求 $t$ 的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$ ，使点 $E$ 在 $∠ ABD$ 的平分线上？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：用若干相同的一个单位长度的细直木棒，按照如图1方式搭建一个长方体框架，探究所用木棒条数的规律．

问题探究：

我们先从简单的问题开始探究，从中找出解决问题的方法．

探究一

用若干木棒来搭建横长是 $m$ ，纵长是 $n$ 的矩形框架 $(m$ 、 $n$ 是正整数），需要木棒的条数．

如图①，当 $m = 1$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $1 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(1 + 1) \times 1$ 条，共需4条；

如图②，当 $m = 2$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $2 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1) \times 1$ 条，共需7条；

如图③，当 $m = 2$ ， $n = 2$ 时，横放木棒为 $2 \times (2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(2 + 1) \times 2$ 条，共需12条；

如图④，当 $m = 3$ ， $n = 1$ 时，横放木棒为 $3 \times (1 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1) \times 1$ 条，共需10条；

如图⑤，当 $m = 3$ ， $n = 2$ 时，横放木棒为 $3 \times (2 + 1)$ 条，纵放木棒为 $(3 + 1) \times 2$ 条，共需17条．

问题（一 $)$ ：当 $m = 4$ ， $n = 2$ 时，共需木棒　　条．

问题（二 $)$ ：当矩形框架横长是 $m$ ，纵长是 $n$ 时，横放的木棒为　　条，

纵放的木棒为　　条．

探究二

用若干木棒来搭建横长是 $m$ ，纵长是 $n$ ，高是 $s$ 的长方体框架 $(m$ 、 $n$ 、 $s$ 是正整数），需要木棒的条数．

如图⑥，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 1$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (1 + 1) = 34$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 1 = 12$ 条，共需46条；

如图⑦，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 2$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (2 + 1) = 51$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 2 = 24$ 条，共需75条；

如图⑧，当 $m = 3$ ， $n = 2$ ， $s = 3$ 时，横放与纵放木棒之和为 $[3 \times (2 + 1) + (3 + 1) \times 2] \times (3 + 1) = 68$ 条，竖放木棒为 $(3 + 1) \times (2 + 1) \times 3 = 36$ 条，共需104条．

问题（三 $)$ ：当长方体框架的横长是 $m$ ，纵长是 $n$ ，高是 $s$ 时，横放与纵放木棒条数之和为　　条，竖放木棒条数为　　条．

实际应用：现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架，总共使用了170条木棒，则这个长方体框架的横长是　　．

拓展应用：若按照如图2方式搭建一个底面边长是10，高是5的正三棱柱框架，需要木棒　　条．

某公司投入研发费用80万元 $(80$ 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量 $=$ 销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元 $/$ 件．此产品年销售量 $y$ （万件）与售价 $x$ （元 $/$ 件）之间满足函数关系式 $y = - x + 26$ ．

（1）求这种产品第一年的利润 $W_{1}$ （万元）与售价 $x$ （元 $/$ 件）满足的函数关系式；

（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元 $(20$ 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元 $/$ 件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润 $W_{2}$ 至少为多少万元．

已知：如图，平行四边形 $ABCD$ ，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$ ，点 $G$ 为 $AD$ 的中点，连接 $CG$ ， $CG$ 的延长线交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $FD$ ．

（1）求证： $AB = AF$ ；

（2）若 $AG = AB$ ， $∠ BCD = 120 °$ ，判断四边形 $ACDF$ 的形状，并证明你的结论．

已知反比例函数的图象经过三个点 $A (- 4, - 3)$ ， $B (2 m, y_{1})$ ， $C (6 m, y_{2})$ ，其中 $m > 0$ ．

（1）当 $y_{1} - y_{2} = 4$ 时，求 $m$ 的值；

（2）如图，过点 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，两垂线相交于点 $D$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，若三角形 $PBD$ 的面积是8，请写出点 $P$ 坐标（不需要写解答过程）．