某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元-优题课

某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?
（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?（其它销售条件不变）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

探究

（1）如图①，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ ACB = 90$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 交射线 $CB$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 、 $BE$

填空：

①线段 $BD$ 、 $BE$ 的数量关系为　　．

②线段 $BC$ 、 $DE$ 的位置关系为　　．

推广：

（2）如图②，在等腰三角形 $ABC$ 中，顶角 $∠ ACB = α$ ，作 $CM$ 平分 $∠ ACB$ 交 $AB$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为 $ΔABC$ 外部射线 $CM$ 上一点，以点 $C$ 为旋转中心将线段 $CD$ 逆时针旋转 $α$ 度得到线段 $CE$ ，连接 $DE$ 、 $BD$ 、 $BE$ 请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．

应用：

（3）如图③，在等边三角形 $ABC$ 中， $AB = 4$ ．作 $BM$ 平分 $∠ ABC$ 交 $AC$ 于点 $M$ ，点 $D$ 为射线 $BM$ 上一点，以点 $B$ 为旋转中心将线段 $BD$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $BE$ ，连接 $DE$ 交射线 $BA$ 于点 $F$ ，连接 $AD$ 、 $AE$ ．当以 $A$ 、 $D$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔAEF$ 全等时，请直接写出 $DE$ 的值．

某校为改善办学条件，计划购进 $A$ 、 $B$ 两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：

规格	线下		线上
规格	单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）		单价（元 $/$ 个）	运费（元 $/$ 个）
$A$	240	0		210	20
$B$	300	0		250	30

（1）如果在线下购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费5520元，求 $A$ 、 $B$ 两种书架各购买了多少个

（2）如果在线上购买 $A$ 、 $B$ 两种书架20个，共花费 $v$ 元，设其中 $A$ 种书架购买 $m$ 个，求 $v$ 关于 $m$ 的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，若购买 $B$ 种书架的数量不少于 $A$ 种书架的2倍，请求出花费最少的购买方案，并计算按照这种购买方案线上比线下节约多少钱．

小明在研究矩形面积 $S$ 与矩形的边长 $x$ ， $y$ 之间的关系时，得到下表数据：

$x$	0.5	1	1.5	2	3	4	6	12
$y$	12	6	4	3	2		1	0.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了

（1）被墨水涂黑的数据为　　．

（2） $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为　　，且 $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（3）如图是小明画出的 $y$ 关于 $x$ 的函数图象，点 $B$ 、 $E$ 均在该函数的图象上，其中矩形 $OABC$ 的面积记为 $S_{1}$ ，矩形 $ODEF$ 的面积记为 $S_{2}$ ，请判断 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的大小关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下， $DE$ 交 $BC$ 于点 $G$ ，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象经过点 $G$ 交 $AB$ 于点 $H$ ，连接 $OG$ 、 $OH$ ，则四边形 $OGBH$ 的面积为　　．

2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的 $001 A$ 型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长 $BD$ 约 $306 m$ ，航母前端点 $E$ 到水平甲板 $BD$ 的距离 $DE$ 为 $6 m$ ，舰岛顶端 $A$ 到 $BD$ 的距离是 $AC$ ，经测量， $∠ BAC = 71.6 °$ ， $∠ EAC = 80.6 °$ ，请计算舰岛 $AC$ 的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sin 71.6 ° \approx 0.95$ ， $\cos 71.6 ° \approx 0.32$ ， $\tan 71.6 ° \approx 3.01$ ， $\sin 80.6 ° \approx 0.99$ ， $\cos 80.6 ° \approx 0.16$ ， $\tan 80.6 ° \approx 6.04)$

某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下

选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：

七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59

99 87 85 89 97 86 89 90 89 77

八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94

62 99 94 51 88 97 94 98 85 91

分组整理，描述数据

（1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；

解析数据，计算填空

（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；

年级	平均数	中位数	众数	优秀率
七年级	85.3	88	89	$20 %$
八年级	85.4

得出结论，说明理由．

（3）估计八年级成绩优秀的学生人数约为　　人．

（4）整体成绩较好的年级为　　，理由为　　（至少从两个不同的角度说明合理性）．