（本小题满分12分）ALS冰桶挑战赛是一项社交网络上发起的筹-优题课

题文

（本小题满分12分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下列联表：

	接受挑战	不接受挑战	合计
男性	45	15	60
女性	25	15	40
合计	70	30	100

根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

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在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C ： y = \frac{x^{2}}{4}$ 与直线 $y = k x + a (a > 0)$ 交与 $M, N$ 两点，
（Ⅰ）当 $k = 0$ 时，分别求 $C$ 在点 $M$ 和 $N$ 处的切线方程；
（Ⅱ） $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $∠ O P M = ∠ O P N$ ？说明理由.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年销售量 $y$ （单位： $t$ ）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}$ （ $i$ =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.


46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C$ =120°， $E, F$ 是平面 $A B C D$ 同一侧的两点， $B E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $D E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $B E = 2 D E$ ， $A E ⊥ E C$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A E C$ ⊥平面 $A F C$ ；
（Ⅱ）求直线 $A E$ 与直线 $C F$ 所成角的余弦值.

$S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $a_{n} > 0$ ， ${a_{n}}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n - 1}}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

已知函数 $f (x) = 4 x - x^{2}, x \in R$ .

（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间;
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ,曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证:对于任意的正实数 $x$ ,都有 $f (x) \leq g (x)$ ;
（Ⅲ）若方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数)有两个正实数根 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ,求证: $x_{2} - x_{1} < - \frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$ .

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