小明将三角形纸片ABC(AB >AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?如果同意,请你给出证明,如果不同意,请说明理由.
如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要在∠AOB的内部修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
如图,抛物线与x轴交与A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴相交于点E.
(1)求直线AD的解析式;
(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH的周长的最大值;
(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是AM为边的矩形,若点T和点Q关于AM所在直线对称,求点T的坐标.
在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是线段BC的中点,∠EDF=120°,DE与线段AB相交于点E,DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.
(1)如图1,若DF⊥AC,垂足为F,AB=4,求BE的长;
(2)如图2,将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,DF扔与线段AC相交于点F.求证:;
(3)如图3,将(2)中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与线段AC的延长线交与点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:.
某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD,期中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N,观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角,观测渔船N在俯角
,已知NM所在直线与PC所在直线垂直,垂足为点E,PE长为30米.
(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);
(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度.为提高大坝防洪能力,某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝定加宽3米,背水坡FH的坡度为
,施工12天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:
)
如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如:自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是:6、4、7、4、6,从个位到最高排出的一串数字也是:6、4、7、4、6,所64746是“和谐数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;[来。
(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设个位上的数字为x(,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.